MVP矩阵—图形的空间变换

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0）前言

这一块的内容需要提前充分理解空间与坐标系的关系，以及矩阵的变换，否则是无法理解的。可以看下面的

1）坐标空间

在计算机图形学中，当我们拥有了模型数据后，我们要将其显示到屏幕上，一般我们要通过5个空间变换，这样才能将不同的物体显示在同一张图上，这5个空间如下：

  • 局部空间(Local Space，或者称为物体空间(Object Space))
  • 世界空间(World Space)
  • 观察空间(View Space，或者称为视觉空间(Eye Space))
  • 裁剪空间(Clip Space)
  • 屏幕空间(Screen Space)
    spaces
    局部空间：就是物体自己坐在的坐标系，实际上每个物体都是在自己的空间内定义的，那么如何将多个物体合并到一起显示呢？如果都按照它们的局部空间的坐标显示，那么所有的物体很大的可能它们都会聚到同一个点上。这样显然是不合适的，因此我们通过一个Model矩阵，将每个物体都变换到同一个空间下的不同位置上。这个空间就是世界空间，这个Model矩阵就是M矩阵（不同物体的M矩阵肯定是不同的）。

世界空间：通过M矩阵将所有的物体都变换到的共同的空间。

观察空间：变换到了同一个世界空间后，还有一个问题，就是空间是立体的，而我们的眼睛（摄像机）是无法在同一个时间点看完整个空间的，因此观察空间就是摄像机能看到的空间。这里是通过View 矩阵来实现的空间变换，V矩阵是跟摄像机紧密相关的。

裁剪空间：将物体变换到观察空间后，实际上还是有一个投影的操作的。因为世界是3维的，但是图像却是2维的。因此需要一个投影的矩阵将3维物体投影到2维空间上，这个就是Projection矩阵。P矩阵跟投影的算法有关。一般由两种，一种是正交投影，一种是透射投影。
正射投影：
mvp1
透视投影：
mvp2
在现实世界中，透视投影才是更加贴近实际效果的投影。

屏幕空间：最后我们将裁剪空间做一下平移就得到立刻最终的屏幕空间。

因此我们可以看到上面的操作，主要内容是通过MVP矩阵，我们就将物体显示在了屏幕空间中。下面我们来挨个分析这三个矩阵。

2）Model矩阵

上面说了Model矩阵是将物体从局部空间变换到了世界空间，而这个变换操作一般就只有3种操作，平移，旋转和缩放。利用glm的库函数，我们可以如下生成矩阵：

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glm::mat4 trans;
trans = glm::translate(trans, glm::vec3(1.0f, 1.0f, 0.0f));
trans = glm::rotate(trans, glm::radians(90.0f), glm::vec3(0.0, 0.0, 1.0));
trans = glm::scale(trans, glm::vec3(0.5, 0.5, 0.5));

上面表示构造一个位移的矩阵，将物体的位置移动（1.0，1.0，0.0）个单位，将物体逆时针旋转90度，然后缩放为原来的0.5倍

3）View矩阵

View矩阵跟camera的参数强相关的。当我们根据camera信息定义了右向量，上向量，以及方向向量后，就可以得到View 矩阵了。
具体的这些向量是怎么来的，在camera的章节中有讲述。

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glm::mat4 view;
view = glm::lookAt(glm::vec3(0.0f, 0.0f, 3.0f), 
           glm::vec3(0.0f, 0.0f, 0.0f), 
           glm::vec3(0.0f, 1.0f, 0.0f));

4）Projection矩阵

对于正交投影，我们可以使用下面的函数生成projection矩阵

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glm::ortho(0.0f, 800.0f, 0.0f, 600.0f, 0.1f, 100.0f);

前两个参数指定了平截头体的左右坐标，第三和第四参数指定了平截头体的底部和顶部。通过这四个参数我们定义了近平面和远平面的大小，然后第五和第六个参数则定义了近平面和远平面的距离。这个投影矩阵会将处于这些x，y，z值范围内的坐标变换为标准化设备坐标。

对于透视投影：

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glm::mat4 proj = glm::perspective(glm::radians(45.0f), (float)width/(float)height, 0.1f, 100.0f);

第一个参数是FOV，也就是视野。它定义了观察空间的大小。第二个参数是宽高比，第三个参数数近平面，第四个参数是远平面。
mvp3

参考资料：
https://learnopengl-cn.github.io/01%20Getting%20started/08%20Coordinate%20Systems/#_5

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