二叉树

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首先回顾一些树的基本概念：

根节点（root）：没有父亲的结点。

树叶（leaf）：没有儿子的结点。

路径（path）：是一个结点到另一个结点的序列表示，这些结点都应该是父子关系。

路径的长（length）: 路径上边的条数。为序列个数减一。

深度（depth）：根结点到某一结点的唯一路径的长。

高（height）：某一结点到树叶的最长路径的长。

如图所示：
binaryTree1

树的遍历：

前序遍历（preorder traversal）：先根节点，然后左子树，最后右子树。

中序遍历（inorder traversal）：先遍历左子树，然后根节点，最后右子树。

后序遍历（postorder traversal）：先左子树，然后右子树，最后根节点。

分类是根据根节点的遍历顺序分的。

下图是遍历的例子：
binaryTree2

二叉树

二叉树是一种树，其子节点的数目不超过2个。上图就是一个二叉树。

二叉树中应用最多的当属二叉查找树，原因是二叉查找树的查找时间复杂度相当的低，平均只有O(logN),效率基本相当于二分查找。而链表的时间复杂度为O(logN).

二叉查找树的实现

二叉树的实现是递归调用的经典范例。

二叉查找树的性质是：左子树<根节点<右子树。也就是说二叉查找树的数据分布一定是满足这一性质的。

二叉树的定义：

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struct TreeNode;
typedef struct TreeNode *Position;
typedef struct TreeNode *SearchTree;
typedef int ElementType;

struct TreeNode
{
	ElementType Element;
	SearchTree Left;
	SearchTree Right;
};

设置空树：

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SearchTree MakeEmpty(SearchTree T)
{
	if(T!=NULL)
	{
		MakeEmpty(T->Left);
		MakeEMpty(T->Right);
		free(T);
	}
	return NULL;
}

二叉树查找：

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Position Find(ElementType X, SearchTree T)
{
	if(T==NULL)
		return NULL;
	if(X<T->Element)
		return Find(X,T->Left);
	else if(X>T->Element)
		return Find(X,T->Right);
	else
		return T;
}

查找最大值以及最小值：

因为二叉查找树是按排好序存储的，因此查找最大最小值非常方便简单，最大最小值分别为最左的叶子和最右的叶子。也就是说如果最小值不是根节点的话，那必然在左子树长；同理，最大值的情况，不在根节点就是在右子树上。

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Position FindMax(SearchTree T)
{
	if(T==NULL)
		return NULL;
	else if(T->Left==NULL)
		return T;
	else
		return FindMax(T->Left);
}

Position FindMin(SearchTree T)
{
	if(T != NULL)
		while(T->Right!=NULL)
			T = T->Right;
	return T;
}

在这里要注意的是：在应用

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T = T->Right;

的时候要格外小心，这里很容易引起错误。在这个子程序中不存在错误的问题。

插入结点：

插入结点比较简单，首先查找有没有这个结点，如果有的话，do nothing，没有的话，找到相应的叶子位置，把这个结点插上。

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SearchTree Insert(ElementType X, SearchTree T)
{
	if(T==NULL)
	{
		T = malloc(sizeof(struct TreeNode));
		if(T==NULL)
			Error("Out of Space!!!");
		else
		{
			T->Element = X;
			T->Left =T->Right = NULL;
		}
	}
	else
		if(X<T->Element)
			T->Left = Insert(X,T->Left);
		else
			if(X>T->Element)
				T->Right = Insert(X,T->Right);
	return T;
}

关于Insert函数的返回值，T指向的是新生成的树的根节点。其实针对Insert函数来说，不需要返回值.

删除节点：

删除节点是一个比较麻烦的问题，如果是叶节点，那么直接删除就可以了，如果是非叶结点就麻烦了，因为把非叶结点删除了以后，还要考虑这个结点的子节点的排列问题。

如图所示
binaryTree3

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SearchTree Delete(ElementType X, SearchTree T)
{
	if(T==NULL)
		Error("Element not Found!");
	else 
		if(X<T->Element)
			T->Left = Delete(X,T->left);
		else 
			if(X>T->Element)
				T->Right = Delete(X,T->Right);
			else //found the element      
				if(T->Left && T->Right) //two children
				{
					Position Tmp;
					Tmp = FindMin(T->Right);
					T->Element = Tmp->Element;
					T->Right = Delete(T->Element,T->Right);
					free(Tmp);
				}
				else //leaf or one child
				{
					Position Tmp;
					if(T->Left==NULL)
						Tmp = T->Right;
					else if(T->Right==NULL)
						Tmp = T->Left;
					T = Tmp;
					free(Tmp);
				}
				return T;
}

值得注意的是：当以上述的方式进行若干次的删除操作时，可能会使树不再平衡，左子树会非常健壮，右子树会萎缩，也就会使二叉树的查找的时间复杂度要高于O(logN).

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