AVL树

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前面介绍了二叉查找树，二叉查找树的平均时间复杂度为O(logN),是相当低的，因此是一种非常优异的模型。但是这只是对一个随机输入的二叉查找树有效（平衡的二叉树）。当我们进行一定次数的插入（或删除）后，可能会导致二叉树不平衡，甚至退化成链表，这样会重新使时间复杂度变为O(logN).因此，引入AVL树。

AVL树是Adelson-Velskii和Landis于1962年发明的自平衡二叉树。在一个二叉树中引入平衡条件，最简单的当然是每个节点的左子树和右子树的高度一样。但是这个条件太强了，因此AVL树引入例如下面的一个限制：

每个节点的左子树的高度和右子树的高度的差的绝对值不超过1（空树的高度定义为-1）

旋转

对于AVL树，除了插入结点外，所有的操作都可以在O(logN)的时间内完成。对于插入节点的情况，插入可能会破坏AVL树的约束条件，而我们可以通过对树的适当旋转来修正。
avlTree1

对一个AVL树插入一个节点，分4中情况

  • 对左子树插入左子节点

  • 对右子树插入左子节点

  • 对左子树插入右子节点

  • 对右子树插入右子节点

其中（1）和（4）是镜面对称情况，（2）和（3）是镜面对称情况，因此他们相应的旋转情况是一致的，因此这里只分析（1）和（2）的情况。

  • 单旋转：

对于（1）的情况适用于单旋转，如上面的图所示，插入节点5，就是在左子树插入左子节点，这个结果直接导致了不符合AVL的约束条件，对于节点7来说，它已经失去了平衡了，节点4,8的失衡也是由于节点7的失衡，因此为了恢复平衡，我们要把节点7的左子树提高一个level，把节点7的右子树降低一个level，因此可以得到上图的旋转后的结果

要旋转之前首先要清晰到底应该是哪个节点导致的不平衡。

对于编程实现来说，旋转本质上是指针的一些改变

从上图可以看到旋转后的树与旋转前的树的高度是一样的。这其实很好理解，正因为增加了一个节点导致树变深了，进而导致了unbalance，所以通过旋转必然要减掉这个深度，否则一样的unbalance.

  • 双旋转：

对应于（2）的情况，单旋转已经不能解决问题了。因此要引入两次但旋转，即双旋转来解决

avlTree2

在这个例子中根节点8是平衡的，不平衡的是节点9，因此要对节点9做双旋转。

另一个例子：

avlTree3

这个例子中根节点6不平衡，因此要对根节点做旋转。

代码实现

AVL树的定义：

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struct Avltree;
typedef struct AvlNode *AvlTree;
typedef AvlTree Position;

struct AvlNode
{
	ElementType Element;
	AvlTree Left;
	AvlTree Right;
	int Height;
};

// calculate height
static int Height(Position P)
{
	if(P==NULL)
		return -1;
	else
		return P->Height;
}

插入节点：

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AvlTree Insert(Element X,AvlTree T)
{
	if(T==NULL)
	{
		T = malloc(sizeof(struct AvlNode));
		if(T==NULL)
			Error("Out of Space!");
		T->Left = T->Right = NULL;
		T->Element = X;
		T->Height = 0;
	}
	else if(X<T->Element)
	{
		T->Left = Insert(X,T->Left);
		//if X==T->Left,the next if condition is false,it will do nothing
		if(Height(T->Left) - Height(T->Right)==2)  
			if(X<T->Left->Element)
				T = SingleRotateWithLeft(T);
			else
				T = DoubleRotateWithLeft(T);
	}
	else if(X>T->Element)
	{
		T->Right = Insert(X,T->Right);
		if(Height(T->Right) - Height(T->Left)==2)
			if(X>T->Right->Element)
				T = SingleRotateWithRight(T);
			else
				T = DoubleRotateWithRight(T);
	}

	T->Height = Max(Height(T->Left),Height(T->Right))+1;
	return T;
}

左节点单旋转：

avlTree4

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Position SingleRotateWithLeft(Position P1)
{
	Position P2;
	P2 = P1->Left;
	P1->Left = P2->Right;
	P2->Right = P1;
	P1->Height = Max(Height(P1->Left),Height(P1->Right));
	P2->Height = Max(Height(P2->Left),P1->Height);
	return P2;  //new root
}

右节点单循环：（与上面的是镜面对称）

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Position SingleRotateWithRight(Position P1)
{
	Position P2;
	P2 = P1->Right;
	P1->Right = P2->Left;
	P2->Left = P1;
	P1->Height = Max(Height(P1->Left),Height(P1->Right));
	P2->Height = Max(Height(P2->Right),P1->Height);
	return P2;  //new root
}

下面是双旋转：其实双旋转的编程实现比较简单，就是把单旋转做两遍，一次左，一次右。

左节点双旋转：
avlTree5

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Position DoubleRotateWithLeft(Position P3)
{
	P3->Left = SingleRotateWithRight(P3->Left);
	return SingleRotateWithLeft(P3);
}

右节点双旋转：

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Position DoubleRotateWithRight(Position P3)
{
	P3->Right = SingleRotateWithLeft(P3->Right);
	return SingleRotateWithRight(P3);
}

这两个双旋转是镜面对称的。

总结：

AVL树是平衡的二叉树，它有限制：“每个节点的左子树的高度和右子树的高度的差的绝对值不超过1”（空树的高度定义为-1）。对AVL树插入值很有可能导致二叉树不再平衡，因此可以通过旋转来消除这种不平衡。旋转分单旋转和双旋转，分别对应于不同的插入情况。最多只需要双旋转。

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