欧拉回路，是一个图问题，也就是说假设我们拿着一只笔，在纸上画一个图，在这个期间笔不能离开纸，同时每一个边只能画一次。也就是人们常说的一笔完成。如下面例子所示：
图a，图b可以一笔画出来，而图c不可以。欧拉回路就是研究这个问题：什么样的图能够一笔画成。
我先先来分析上面的图a，可以发现对于图a，虽然可以一笔画成，但是却无法在结束时回到最初的起始点，也就是说假设我们从左下角的点开始画，那么完成这个图形时，笔尖一定是在右下角的点上。
而对于图b，我们发现结束后，笔尖一定会回到最初的起点。
这是一个很有趣的现象，下面我们通过引入一个度的概念来解决这个问题。
度：在无向图中，表示点的边的个数。例如图a中左下角的点的度为3，图b中左下角的点的度为4.
下面我们引入Euler Circuits定理：
如果一个图是连通图（connected），并且每一个点的度都为偶数，那么这个图一定可以一笔画成，同时最终点就是起始点。
如果一个图是连通图（connected），但是有且只有两个点的度为奇数，那么图一定可以一笔画成，但是最终点不是起始点。
如果一个图是连通图（connected），但是一个点的度为奇数或者超过两个点的度为奇数，那么图一定不可以一笔画成。
对于每个点来说，可以进入，可以出去，但是当一个点的度为奇数时，它就只能进入而不能出去了，因此对于C中的情况，是无法一笔画成一个图的；而对于b中的情况，因为只有两个度为奇数的点，因此必有一个点为起始点，一个点为终点，也就是说一个点出去，一个点进去，然后结束不在出来。
下面来看一个比较复杂的例子，怎样找到它的欧拉回路的访问方式。
这个图毫无疑问是有欧拉回路的，因为每个点的度均为偶数。
首先我们随意找到一个点，然后深度遍历，假设为5,4,3,2,8,9,10,5， 那么得到下面的图
然后我们再随意找到一个点，然后深度遍历，假设为4,1,3,6,9,12,10,11,4， 那么得到下面的图
然后我们再随意找到一个点，然后深度遍历，假设为3,9,7,3；
然后我们再随意找到一个点，然后深度遍历，假设为4,7,10,4；
那么得到下面的图，遍历完成
下面我们要将上面的路径合并成一条路径：
5,4,3,2,8,9,10,5
4,1,3,6,9,12,10,11,4
3,9,7,3
4,7,10,4；
合并前两个，得到5,4,1,3,6,9,12,10,11,4,3,2,8,9,10,5
在合并第三个，得到5,4,1,3,9,7,3,6,9,12,10,11,4,3,2,8,9,10,5
合并第四个得到5,4,7,10,4,1,3,9,7,3,6,9,12,10,11,4,3,2,8,9,10,5